사람이 평생의 직업으로 선택한 일을 해 나가는 데는 여러 이유가 있을 것이다. 그런데 아마도 언뜻 마음에 잘 와 닿지는 않겠지만 아름다움이란 요소도 과학의 길을 가게 하는 주요 동인 가운데 하나이다. 흔히 사람들은 과학자의 전형적 표상으로 자리잡은 아인슈타인의 외모를 보고 과학자들은 미적 요소에 무심하다거나 심지어 미적 감각이 없다고 여긴다. 그러나 부수수한 머리를 쓸어 넘기며 아득히 먼 곳을 응시하는 듯한 눈길 속에서 그는 과학적 진리의 아름다움을 줄기차게 추구해갔다. 과학사를 돌이켜보면 아름다움의 역할이 선명하게 드러난다. 그리스의 유클리드가 쓴 '기하학원론'에는 '소수의 개수는 무한하다'는 정리의 증명이 있다. 그 논리적 정교함과 간결성이 뛰어나 일찍부터 '수학적 우아함의 전형'으로 여겨졌다. 18세기 스위스 수학자 오일러는 이라는 식을 세웠는데, 수학의 가장 중요한 5개 상수가 절묘한 형태로 결합되어 있기에 '수학에서 가장 아름다운 식'이라고 부른다. 19세기 영국의 물리학자 맥스웰은 전자기파에 관한 4개의 미분방정식을 정립했다. 이로써 초속 30만km로 달리는 전파의 존재가 예언되었고 얼마 뒤 실험으로 검증되었다. 이에 감동한 볼츠만은 미분방정식에
전기에너지는 편리하지만 너무나 친밀해서 거의 공기나 물처럼 자연스런 존재로 여겨진다. 하지만 이처럼 널리 쓰이고 있음에도 전기에는 많은 신비가 담겨 있다. 예를 들면 많은 사람들이 전류가 전구나 다리미 등에서 '소모'되는 것으로 생각한다. 전구의 경우 빨갛게 달궈진 필라멘트에서 빛이 뿜어져 나오고 다리미에서는 뜨거운 열이 방출되어 나온다. 그런데 전류는 '전자의 흐름'이라고 배운다. 따라서 마치 석탄과 석유가 불꽃 속에서 사라져가듯 전자의 흐름도 전구나 다리미에서 그들의 몸을 사르며 사라져 가는 것처럼 보인다. 하지만 전지와 전구를 연결한 간단한 전기회로를 생각해보면 그렇지 않다는 점을 곧 알 수 있다. 전자는 전지의 -극에서 나와 전구를 거쳐 +극으로 돌아간다. 이때 나간 전자는 고스란히 돌아오므로 도중에 소모되지 않는다. "과연 그렇다면 빛과 열을 뿜고 모터를 돌리고 스피커에서 음을 만들어내는 전기에너지는 도대체 어디에서 오는가"라는 의문이 생긴다. 이에 대한 답은 "전기에너지 = 전압 * 전류"라는 간결한 식에 들어 있다. 전기에너지에 대한 이 식은 물의 순환에 비유하면 쉽게 이해할 수 있다. 강물은 깊은 산 속의 어디선가 시작해서 큰 흐름을 이룬다.
아직 논란의 여지는 있지만 태양계에 10번째 행성의 후보 별이 새로 발견되었다고 한다. 이런 소식을 들으면 주된 논란거리와는 별도로 "지금껏 발견되지 않았던 동안 그것은 우리에게 무엇이었을까"라는 생각이 스며든다. 물론 그 행성은 발견되기 전까지 우리 생활과 거의 아무런 상관이 없었으며, 10번째 행성으로 인정되더라도 사실상 무관할 것이다. 다만 '세드나'(Sedna)라는 그 이름이 시험에 나올 경우, 학생부 성적을 통해 입시에 반영되는 정도로 우리에게 영향을 준다고 할 수는 있겠다. 그러나 그것이 발견되기 전 정녕 인간에게 티끌의 티끌만큼도 영향을 주지 않았다고 단정할 수 있을까. 어쩌면 까마득한 옛날의 한 순간 지구를 향해 돌진하는 거대 운석 하나를 가로막아 주었는지도 모른다. 하지만 범위를 더 확대해 생각해보면 어떨까. 항성으로 지구와 가장 가까운 별은 프록시마(Proxima)다. 그러나 가장 가깝다는 말이 무색하게도 4.3광년, 즉 약 40조 킬로미터나 떨어져 있다. 과연 이런 별도 인간에게 그 어떤 영향을 줄 수 있을까. 놀랍게도 현대의 쟁쟁한 과학자들 가운데 일부는 우주가 인간을 위해 필수불가결한 요소들로 가득 차 있다는 주장을 편다. 우선 4.3
몇 년 전 출간된 외국의 한 교양과학 서적을 읽던 중 온도를 나타내는 단위로 ' K'가 쓰여진 것을 본 적이 있다. 지은이는 영국 유명 대학의 교수이자 여러 책을 쓴 과학저술가였기에 기이한 느낌마저 들었다. 예전에는 온도의 단위로 섭씨(℃)나 화씨(℉)를 썼다. 이들 단위는 제안자인 셀시우스(Celsius)와 파렌하이트(Fahrenheit)의 이름 첫 글자에 '도(度 degree)'를 뜻하는 ' '를 붙여서 만들었다. 그러나 1967년 과학 분야에서 사용할 온도의 국제적 표준 단위를 제정하면서 영국의 물리학자 켈빈(Kelvin)을 기려 'K'를 쓰기로 했다. 이 새 단위에는 ' '를 붙이지 않았는데 이는 각도를 나타내는 ' '의 혼용은 불합리한 일이었기 때문이었다. 최근 우리나라의 한 석사 논문에서도 ' K'가 쓰여진 것을 보았다. 화학 전공자의 논문이었기에 상당히 착잡한 느낌을 받았다. 물론 사소한 일로 넘길 수도 있지만 이공계 경시 풍조가 널리 확산되고 있는 가운데 과학계와 교육계에서조차 근본에 대한 관심이 소홀해지는 현상을 드러내는 하나의 상징처럼 여겨져 더욱 그러했다. 1999년 미국의 우주탐사선이 화성으로 가던 중 실종되어 막대한 경제적 손해와 함께
'기하학에 왕도는 없다'는 고사는 흔히 '기하학 원론'을 지은 유클리드가 남긴 것으로 알려져 있다. 그는 한 때 수학을 가르치기 위하여 이집트의 알렉산드리아로 간 적이 있다. 저명한 학자를 환대하면서 프톨레마이오스 왕이 기하학을 쉽게 배우는 방법을 물었을 때 그는 위와 같은 대답을 했다. 그런데 이보다 한 세대 전 알렉산더 대왕도 거의 똑같은 이야기를 남겼다(알렉산드리아는 알렉산더 대왕이 건설했고, 프톨레마이오스 왕은 알렉산더 대왕의 부하 장수였다). 알렉산더 대왕은 대학자 아리스토텔레스로부터 여러 학문에 대하여 배웠는데 기하학은 메나에크무스라는 수학자에게서 배웠다. 학생으로서, 왕이 기하학을 정복할 지름길을 물었을 때 그는 "나라를 다스리는 임금의 길과 일반 백성들의 길은 다르지만, 기하학에는 모든 사람에게 단 하나의 길이 있을 뿐입니다"라고 대답했다. 유클리드는 너무나 유명한 사람이지만 생몰연대도 BC 300년 무렵이라고 추정될 정도로 생애는 신비에 싸여있다. 그런데 우연찮게도 비슷한 시기에 살았던 중국의 장자(BC 369-289?)도 비교해볼 만한 일화를 남겼다. 장자는 도가사상 또는 노장사상의 대표자로 인정받으며, 여기에는 '도'(道)의 개념이 핵심을
요즈음 우리 교육은 이른바 '선행학습'이란 묘한 현상 때문에 상당한 몸살을 앓고 있다. 방학이 되면 한 학기는 약과이고 한 학년 심지어 두 학년까지도 앞서나가 배우느라 정신이 없다. 전에는 '예습'이란 말이 있었지만 이제는 선행학습 때문에 실질적인 의의를 잃고 말았다. 그러나 이와 같은 선행학습이 과연 소기의 성과를 가져다 줄 것인지는 매우 의심스럽다. '로마는 하루아침에 이루어지지 않았다'는 말이 있지만 교육이란 제도는 그보다 훨씬 뿌리가 깊다. 따라서 개혁을 자꾸 부르짖기는 해도 지금까지의 교육이 송두리째 바뀌어야 할 만큼 잘못되어 있다고 볼 수는 없다. 이런 점에서 전통적으로 정립되어온 교육과정은 학생들의 지적 발달 수준에 최대한 잘 부합되도록 편성되었다고 봐야 한다. 이러한 점진적 교육을 무시하고 너무 앞서 달리려고 한다면 어떤 결과가 나올지는 누구나 대략 짐작할 수 있다. 선행학습 열풍은 영재교육과도 밀접한 관련이 있다. 영재 또는 영재성이란 개념은 언뜻 쉬운 듯 하지만 막상 정확한 정의를 내리려면 아주 모호해진다. 학자들 사이에서도 많은 논란만 오갈 뿐 일치된 견해는 없다. 다만 일반적으로 열거되는 영재의 특성으로는 지능 집중력 탐구력 창의력이 높
그리스의 수학이라 하면 통상 기하학을 가리킨다. 플라톤이 스스로 세운 학교 '아카데메이아'(Akademeia)의 정문에 "기하학을 모르는 자는 들어오지 말라"는 간판을 내건 것은 이를 잘 보여준다. 기하학은 바로 수학이었고 나아가 모든 학문의 대명사와도 같았다. 이와 같은 정신적 경향이 확장되었던 때문인지 그들은 아주 미묘한 것에 대해서도 수학적으로 고찰하려는 태도를 보였다. '황금비'(golden ratio)는 대표적 예인데, 이는 인간의 감정에 가장 아름답게 느껴지는 비례를 수학적으로 표현하려는 노력에서 나온 것이다. 그런데 뜻밖에도 이 비례는 단순한 관계로부터 얻어진다. 즉 어떤 길이를 두 부분으로 나눌 때 '전체 : 큰 부분 = 큰 부분 : 작은 부분'이 되도록 하는 값이 그것이다. 식으로 나타내면 '1 : x = x : (1-x)'가 되고 이를 풀면 가 얻어진다. 이 두 값을 구체적으로 써보면 흥미로운 점이 드러난다. 큰 값은 1.6180339887…이고 작은 값은 0.6180339887…로 소수점 이하의 값이 똑같다. 이 두 값을 모두 황금비라고 부르는데, 암기할 때는 하나의 값만 새겨두어도 된다는 이점이 있다. 나아가 서로 역수 관계에 있다는 점
바야흐로 디지털의 거센 물결이 마치 혁명과도 같이 우리 사회의 겉과 속을 송두리째 바꿔가고 있다. 그 중에도 가장 대표적인 주역은 바로 휴대폰이라 할 것이다. 불과 오륙 년 전만 해도 일부 특수 업무에 종사하는 사람들만 사용하는 것으로 알았던 '이동식 전화'가 이제는 말 그대로 손안에 들어오는 '휴대폰'이 되어 거의 수족의 일부처럼 느껴질 정도가 되었다. 나아가 앞으로는 여기에 그동안 따로따로 사용했던 디지털 도구들을 한데 통합할 예정이라고 한다. 즉 디지털 카메라, 캠코더, MP3는 물론 가장 중요한 도구인 PC의 기능까지 엮어 넣을 것이라고 한다. 이렇게 되면 휴대폰은 각 개인의 총체적인 정보관리 센터가 된다. 그리하여 격변하는 불확실성의 시대를 함께 헤쳐나갈 가장 가까운 동반자의 역할을 하게 될 것이다. 그런데 엄밀히 따져보면 디지털의 역사는 매우 오래되었다는 점이 사뭇 흥미롭다. 디지털(digital)에서의 디지트(digit)는 본래 손가락이나 발가락을 가리킨다. 다시 말해서 누구나 어렸을 때 처음 사용했던 '손가락 셈'이 바로 디지털 계산이었음을 뜻한다. 그리고 이 손가락 셈의 기원은 아득한 원시시대까지 거슬러 올라갈 것임에 틀림없다. 이 점에서 보
맬더스는 18세기 후반부터 태동한 근대 경제학의 초석을 놓은 사람들 가운데 하나이다. 그런데 무엇보다 그는 1798년에 펴낸 자신의 저서 '인구론'에 쓴 "인구는 기하급수적으로 증가하지만 식량은 산술급수적으로 증가한다"는 말로 가장 유명하다. 이 말은 '인구'라는 사회적 현상을 자연과학적으로 해석했다는 점에서 많은 사람들의 눈길을 끌었다. 그리하여 경제학이 객관적 관찰과 설명 그리고 예측을 행하는 어엿한 과학으로 자리잡는 데에 커다란 기여를 했다. 그런데 놀랍게도 위에 인용한 표현은 잘못된 번역이다. 이 구절에 대한 원어 표현을 보면 "Population, when unchecked, increases in a geometrical ratio. Subsistence increases only in an arithmetical ratio"로 되어 있다. 그리고 여기서 문제가 되는 어구는 'geometrical ratio'와 'arithmetical ratio'이다. 등차수열과 등비수열은 영어로 각각 arithmetic sequence와 geometric sequence로 부르며 이른바 '수열과 급수'라는 주제 아래 논의되는 내용 가운데 가장 기본적인 개념이다.
영국의 경험주의 철학자 베이컨은 후세 과학자들에게 귀중한 선물을 했다. 이른바 귀납법이 그것으로 근대의 과학혁명을 이끈 한 실마리가 되었다. 그는 당시 사람들이 아리스토텔레스가 제시한 방법론에 따라 순수한 사유만으로 학문을 하는 태도에 대하여 강하게 비판했다. 예를 들어 아리스토텔레스는 "진공이란 '아무 것도 없음'이란 것이므로 당연히 존재할 수 없다"라고 단정했다. 그런데 서양 학문에 드리운 그의 권위는 매우 컸다. 이 때문에 후세 학자들은 그와 반대되는 생각은 감히 꿈꾸지 못했으며, 생각을 한 후에도 실험으로 검증하기까지는 또 다시 오랜 세월이 걸려야 했다. 하지만 한 겨울 얼음장 밑으로 여울물이 흐르듯 실험과학의 미세한 노력은 꾸준히 이어졌다. 그리고 마침내 도도한 강물이 되었으며 지금도 베이컨의 귀납법은 과학의 주된 방법론으로 사용된다. 우연이라 보기에는 너무 기이하게도 베이컨과 비슷한 시기에 수학적 귀납법이 탄생했다. 파스칼과 페르마가 그 주역인데 이들은 반복적으로 진행되는 증명 과정을 논리적으로 처리하는 방법을 개발하여 그 기틀을 닦았다. 이후 수학의 여러 분야에 적용되었으며 오늘날 고교 과정에서부터 배울 정도로 중요한 기법이 되었다. 이와 구별하
바빌로니아에서 0은 독자적 의의는 없고 다른 숫자의 자릿값을 정해주는 보조적 수단이었을 뿐이다. 이런 관습은 그후 그리스 시대에 이어지도록 변함이 없었다. 오늘날 우리가 쓰는 '기준으로서의 0'이란 관념은 17세기에야 생겨났다. 0의 개념이 가장 먼저 싹튼 곳은 바빌로니아였다. 그런데 재미있는 것은 이때 형성된 0의 개념은 오늘날 우리가 알고 있는 것과 큰 차이가 있다는 사실이다. 그들은 0을 '없음'의 개념으로 여기지 않았으며 오직 '자릿수'를 표시하는 수단으로 사용했다. 예를 들어 1004란 숫자를 보자. 이것을 한자로 쓰면 '一千四'가 된다. 로마숫자는 한자의 표기법과 약간 다르며 이에 따르면 'MIV'로서 1000을 뜻하는 M과 4를 뜻하는 IV를 그냥 나열한 것에 불과하다. 실제로 이것을 IVM으로 쓰더라도 역시 1004가 된다. 어쨌든 한자나 로마숫자는 각 글자가 고유의 값을 가질 뿐 쓰인 위치와는 아무 상관이 없다. 그러나 바빌로니아에서는 숫자가 쓰인 위치에 따라 다른 값을 갖는 '자릿수법'을 최초로 개발했다. 그리고 이것은 수학사상 가장 위대한 발명 가운데 하나로 여겨진다. 바빌로니아에서는 자릿수를 처음에 단순히 '띄어쓰기'로 해결했다. 즉 '
어떤 배우가 연극의 중간에서 잠드는 역할을 맡게 되었다. 하지만 연극을 준비하고 다른 연기 연습도 하느라 아주 힘들게 일했던 탓에 막상 잠드는 연기를 하는 대목에서 그는 실제로 잠에 빠지고 말았다. 다행히 이를 눈치챈 다른 배우가 일어나야 할 때에 맞추어 그를 깨웠기 때문에 관객들은 이 사실을 몰랐다. 그런데 다음날 이 연극에 대한 기사에서 한 평론가는 그 배우의 잠드는 연기가 아주 부자연스러웠다고 비평했다. 이 에피소드는 실제의 현상과 우리 머리 속에서 그려내는 현상과의 사이에 뭔가 본질적인 차이가 있음을 지적해준다. 다시 말해서 현실의 리얼리티와 여러 예술 작품 속의 리얼리티는 같지 않다는 뜻이다. 미술과 문학사를 살펴보면 19세기 이후에 사실주의(리얼리즘)가 등장했음을 볼 수 있다. 물론 처음에는 이전의 낭만주의가 그려내는 비현실적이고 환상적인 경향에 대한 반발에서 시작했다. 그리하여 사물과 현상을 있는 그대로 정확히 옮기는 데에 주력했다. 하지만 세월이 흐름에 따라 미묘한 문제들이 제기되었다. 도대체 '있는 그대로의 모습'이란 것 자체가 모호하다는 것도 그 가운데 하나였다. 똑같은 달이라도 시시각각 다르게 보인다. 날씨나 풍경의 변화에 따라 달라질 뿐
어린이가 수학을 배울 때 가장 먼저 배우는 것은 수 헤아리기이다. 조그만 손을 펼쳐 손가락을 하나씩 꼽아가며 "하나, 둘, 셋, …, 열"까지 센다. 그런 후 연필을 쥐고 숫자 쓰기를 익힌다. 그런데 이 대목에서 수 헤아리기와 본질적으로 다른 현상 한 가지를 만나게 된다. 1부터 9까지는 헤아리기나 쓰기나 별 차이가 없다. 하지만 10에 들어서는 '열'이란 수가 '1'과 '0'의 조합으로 되어 있다는 점을 배우게 된다. 어린아이들은 이른바 '영'(零)이란 개념과 이렇게 해서 처음 마주친다. 이 과정은 생물학의 중요한 명제 가운데 하나인 '개체발생은 계통발생을 되풀이한다'는 말을 떠올리게 한다. 인간이 수의 개념을 처음 떠올리면서 가장 먼저 배운 것은 0이 아니라 1이었다. 0이 수학에 들어선 때는 놀랍게도 7세기 무렵이다. 고도로 발달한 논리학과 기하학을 세운 그리스 문명이 0의 개념을 전혀 몰랐다는 것은 신비롭다고 할 정도다. '만물은 수'라고 말한 피타고라스, "기하학을 모르는 자는 들어오지 말라"는 간판을 자기가 세운 학교 정문에 내건 플라톤, '기하학 원론'을 쓴 유클리드처럼 위대한 선현들이 0을 모르고서도 수학을 그토록 진지하게 탐구할 수 있었다는
과학을 배우다 보면 신비로운 현상들이 참으로 많다는 점을 깨닫게 된다. 만유인력도 한 예다. 전해오는 이야기에 따르면 뉴턴은 사과가 떨어지는 광경을 보고 이 원리를 떠올렸다고 한다. 그런데 그는 사과가 떨어지는 것과 지구가 태양을 도는 것이 서로 같은 현상이란 점을 또 어떻게 떠올렸을까. 예를 들어 박찬호 선수가 야구공을 힘껏 던지면 백 미터 가량 날아갈 것이다. 하지만 공과 지구와의 인력 때문에 결국 떨어지고 만다. 만일 총알이라면 좀더 멀리 갈 것이다. 거대한 로켓에 의해 발사된 인공위성은 지구를 한 바퀴 이상 돌 거리까지 날아갈 수 있다. 다시 말해 인공위성이 지구 주위를 돌아다니는 것은 사과 야구공 총알 미사일 등처럼 지구를 향해 떨어지는 현상이다. 다만 떨어져 땅에 닿기 전에 지구를 한 바퀴 도는 것에 지나지 않는다. 그 주변에는 공기도 거의 없다. 따라서 한 바퀴를 돌고 나더라도 속도는 거의 줄어들지 않으며 이를 바탕으로 똑같은 떨어짐으로서의 회전운동을 하염없이 되풀이한다. 그런데 뉴턴의 시대에는 인공위성이 없었다. 그는 인공위성 대신 자연위성이라고 말할 수 있는 행성들을 떠올렸다. 곧 지구를 비롯한 모든 행성들은 태양을 향해서 끝없이 떨어지는 운
요즘 우리 공교육의 위기가 커다란 관심사가 되고 있는 가운데 한 일간신문의 기사에 어느 선생님이 제기한 또 하나의 문제점이 눈길을 끌었다. 최근 학교 교실에서 질문이 사라지고 있다고 한다. 물론 예전부터 우리나라의 교실에서는 질문이 별로 없었다. 주입 및 암기식 학습, 빡빡한 진도, 선생님의 권위 의식 등 때문에 자유로운 질문-토론식 수업은 바라기 어려웠던 게 사실이었다. 하지만 요즘의 경우는 좀 다르다. 우선 학업이 뒤쳐진 애들은 관심이 없으므로 질문도 없다. 그런데 어느 정도 수준에 올라있는 애들의 경우 교과과정이 그다지 어렵지 않으므로 질문할 게 별로 없다. 게다가 사교육이 워낙 발달되어 웬만한 질문과 답변은 그곳에서 다 처리한다. 또한 수능시험이란 것도 뭔가 사고력을 많이 요구한다기보다 '실수 안 하기'가 관건인 것처럼 인식되어 있다. 따라서 어느 정도의 수준에 오르면 더 이상의 실력 향상을 꾀하지는 않고 지루한 반복 숙달에 매달린다. 그러다 보니 한 학기가 다 가도록 질문 하나 받지 못한 채 수업이 마무리된다. 소크라테스는 세계 4대 성인 중 교육자로서 특히 두드러진다. 그런데 그가 애용한 교수법이 바로 문답식 대화법이었다. 그의 생각에 따르면 인간
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